Integral de ((0,5*x-1)^3+sin(pi*x)) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{x}{2} - 1$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 u^{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(\frac{x}{2} - 1\right)^{4}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{x}{2} - 1\right)^{3} = \frac{x^{3}}{8} - \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{3}}{8}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{8}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{32}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3 x^{2}}{4}\right)\, dx = - \frac{3 \int x^{2}\, dx}{4}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 x}{2}\, dx = \frac{3 \int x\, dx}{2}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{32} - \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 x^{2}}{4} - x$

   1. que $u = \pi x$.

      Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

   El resultado es: $\frac{\left(\frac{x}{2} - 1\right)^{4}}{2} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{4}}{32} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{4}}{32} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 2\right)^{4}}{32} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$