Integral de (30*(-5x+8)^2)+cos(-x-7)-(15*cos(-5x+8)^(-2))+(2(x^2+1)^(-0.5))+(54(81+x^2)^(-1))+54*tg(6x+2) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

         1. Integramos término a término:

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 30 \left(8 - 5 x\right)^{2}\, dx = 30 \int \left(8 - 5 x\right)^{2}\, dx$

                  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                     Método #1

                     1. que $u = 8 - 5 x$.

                        Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

                        $\int \left(- \frac{u^{2}}{5}\right)\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{5}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{15}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $- \frac{\left(8 - 5 x\right)^{3}}{15}$

                     Método #2

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(8 - 5 x\right)^{2} = 25 x^{2} - 80 x + 64$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int 25 x^{2}\, dx = 25 \int x^{2}\, dx$

                           1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{25 x^{3}}{3}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- 80 x\right)\, dx = - 80 \int x\, dx$

                           1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- 40 x^{2}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 64\, dx = 64 x$

                        El resultado es: $\frac{25 x^{3}}{3} - 40 x^{2} + 64 x$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \left(8 - 5 x\right)^{3}$

               1. que $u = - x - 7$.

                  Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\sin{\left(x + 7 \right)}$

               El resultado es: $- 2 \left(8 - 5 x\right)^{3} + \sin{\left(x + 7 \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{15}{\cos^{2}{\left(8 - 5 x \right)}}\right)\, dx = - 15 \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(8 - 5 x \right)}}\, dx$

               1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

                  Pero la integral

                  $- \frac{2 \tan{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)}}{5 \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{30 \tan{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)}}{5 \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 5}$

            El resultado es: $- 2 \left(8 - 5 x\right)^{3} + \sin{\left(x + 7 \right)} + \frac{30 \tan{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)}}{5 \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx$

            InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(x**2 + 1), symbol=x)

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \operatorname{asinh}{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- 2 \left(8 - 5 x\right)^{3} + \sin{\left(x + 7 \right)} + 2 \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + \frac{30 \tan{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)}}{5 \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{54}{x^{2} + 81}\, dx = 54 \int \frac{1}{x^{2} + 81}\, dx$

         PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=81, context=1/(x**2 + 81), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=81, context=1/(x**2 + 81), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=81, context=1/(x**2 + 81), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 81), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{9} \right)}$

      El resultado es: $- 2 \left(8 - 5 x\right)^{3} + \sin{\left(x + 7 \right)} + 2 \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{9} \right)} + \frac{30 \tan{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)}}{5 \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 54 \tan{\left(6 x + 2 \right)}\, dx = 54 \int \tan{\left(6 x + 2 \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\tan{\left(6 x + 2 \right)} = \frac{\sin{\left(6 x + 2 \right)}}{\cos{\left(6 x + 2 \right)}}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(6 x + 2 \right)}$.

            Luego que $du = - 6 \sin{\left(6 x + 2 \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

            $\int \left(- \frac{1}{6 u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\cos{\left(6 x + 2 \right)} \right)}}{6}$

         Método #2

         1. que $u = 6 x + 2$.

            Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{6 \cos{\left(u \right)}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{6}$

               1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\cos{\left(6 x + 2 \right)} \right)}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 9 \log{\left(\cos{\left(6 x + 2 \right)} \right)}$

   El resultado es: $- 2 \left(8 - 5 x\right)^{3} - 9 \log{\left(\cos{\left(6 x + 2 \right)} \right)} + \sin{\left(x + 7 \right)} + 2 \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{9} \right)} + \frac{30 \tan{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)}}{5 \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 1\right) \left(2 \left(5 x - 8\right)^{3} - 9 \log{\left(\cos{\left(6 x + 2 \right)} \right)} + \sin{\left(x + 7 \right)} + 2 \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{9} \right)}\right) + 6 \tan{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 1}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 1\right) \left(2 \left(5 x - 8\right)^{3} - 9 \log{\left(\cos{\left(6 x + 2 \right)} \right)} + \sin{\left(x + 7 \right)} + 2 \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{9} \right)}\right) + 6 \tan{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 1\right) \left(2 \left(5 x - 8\right)^{3} - 9 \log{\left(\cos{\left(6 x + 2 \right)} \right)} + \sin{\left(x + 7 \right)} + 2 \operatorname{asinh}{\left(x \right)} + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{9} \right)}\right) + 6 \tan{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{2} - 4 \right)} - 1}+ \mathrm{constant}$