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Resolución de integrales/ (2/x)/ arcsin/ (x*arcsin(2/x))/pi

Integral de (x*arcsin(2/x))/pi dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2             
  /             
 |              
 |        /2\   
 |  x*asin|-|   
 |        \x/   
 |  --------- dx
 |      pi      
 |              
/               
-2
∫−22xasin⁡(2x)π dx\int\limits_{-2}^{2} \frac{x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\pi}\, dx 
Integral((x*asin(2/x))/pi, (x, -2, 2))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫xasin⁡(2x)π dx=∫xasin⁡(2x) dxπ\int \frac{x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}\, dx}{\pi}

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=asin⁡(2x)u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

      Entonces du⁡(x)=−2x21−4x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−11−4x2) dx=−∫11−4x2 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {ix−1+4x2for 4∣x2∣>1x1−4x2otherwese\begin{cases} i x \sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} & \text{for}\: \frac{4}{\left|{x^{2}}\right|} > 1 \\x \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: −{ix−1+4x2for 4∣x2∣>1x1−4x2otherwese- \begin{cases} i x \sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} & \text{for}\: \frac{4}{\left|{x^{2}}\right|} > 1 \\x \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}

    Por lo tanto, el resultado es: x2asin⁡(2x)2+{ix−1+4x2for 4∣x2∣>1x1−4x2otherweseπ\frac{\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}}{2} + \begin{cases} i x \sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} & \text{for}\: \frac{4}{\left|{x^{2}}\right|} > 1 \\x \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}}{\pi}

  2. Ahora simplificar:

    {x(xasin⁡(2x)+2i4−x2x2)2πfor 4∣x2∣>1x(xasin⁡(2x)+2x2−4x2)2πotherwese\begin{cases} \frac{x \left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 i \sqrt{\frac{4 - x^{2}}{x^{2}}}\right)}{2 \pi} & \text{for}\: \frac{4}{\left|{x^{2}}\right|} > 1 \\\frac{x \left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 \sqrt{\frac{x^{2} - 4}{x^{2}}}\right)}{2 \pi} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {x(xasin⁡(2x)+2i4−x2x2)2πfor 4∣x2∣>1x(xasin⁡(2x)+2x2−4x2)2πotherwese+constant\begin{cases} \frac{x \left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 i \sqrt{\frac{4 - x^{2}}{x^{2}}}\right)}{2 \pi} & \text{for}\: \frac{4}{\left|{x^{2}}\right|} > 1 \\\frac{x \left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 \sqrt{\frac{x^{2} - 4}{x^{2}}}\right)}{2 \pi} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{x(xasin⁡(2x)+2i4−x2x2)2πfor 4∣x2∣>1x(xasin⁡(2x)+2x2−4x2)2πotherwese+constant\begin{cases} \frac{x \left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 i \sqrt{\frac{4 - x^{2}}{x^{2}}}\right)}{2 \pi} & \text{for}\: \frac{4}{\left|{x^{2}}\right|} > 1 \\\frac{x \left(x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 \sqrt{\frac{x^{2} - 4}{x^{2}}}\right)}{2 \pi} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                   //         _________              \
                                   ||        /      4         4      |
                       2     /2\   ||I*x*   /  -1 + --   for ---- > 1|
                      x *asin|-|   ||      /         2       | 2|    |
                             \x/   ||    \/         x        |x |    |
                      ---------- + |<                                |
  /                       2        ||        ________                |
 |                                 ||       /     4                  |
 |       /2\                       || x*   /  1 - --      otherwise  |
 | x*asin|-|                       ||     /        2                 |
 |       \x/                       \\   \/        x                  /
 | --------- dx = C + ------------------------------------------------
 |     pi                                    pi                       
 |                                                                    
/
∫xasin⁡(2x)π dx=C+x2asin⁡(2x)2+{ix−1+4x2for 4∣x2∣>1x1−4x2otherwiseπ\int \frac{x \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\pi}\, dx = C + \frac{\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{x} \right)}}{2} + \begin{cases} i x \sqrt{-1 + \frac{4}{x^{2}}} & \text{for}\: \frac{4}{\left|{x^{2}}\right|} > 1 \\x \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}}{\pi}
Simplificar
Gráfica
-2.0-1.5-1.0-0.52.00.00.51.01.52-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2
22 
=
= 
2
22 
2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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