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Resolución de integrales/ 2*sinx/ (2x+1)/ (2x+1)^2*sinx

Integral de (2x+1)^2*sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
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 |                      
 |           2          
 |  (2*x + 1) *sin(x) dx
 |                      
/                       
0
∫01(2x+1)2sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x + 1\right)^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((2*x + 1)^2*sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+1)2sin⁡(x)=4x2sin⁡(x)+4xsin⁡(x)+sin⁡(x)\left(2 x + 1\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = 4 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 4 x \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x2sin⁡(x) dx=4∫x2sin⁡(x) dx\int 4 x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4x2cos⁡(x)+8xsin⁡(x)+8cos⁡(x)- 4 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 8 x \sin{\left(x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xsin⁡(x) dx=4∫xsin⁡(x) dx\int 4 x \sin{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xcos⁡(x)+4sin⁡(x)- 4 x \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −4x2cos⁡(x)+8xsin⁡(x)−4xcos⁡(x)+4sin⁡(x)+7cos⁡(x)- 4 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 8 x \sin{\left(x \right)} - 4 x \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x2+4x+1u{\left(x \right)} = 4 x^{2} + 4 x + 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=8x+4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 8 x + 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−8x−4u{\left(x \right)} = - 8 x - 4 y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−8\operatorname{du}{\left(x \right)} = -8.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−8sin⁡(x)) dx=−8∫sin⁡(x) dx\int \left(- 8 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 8cos⁡(x)8 \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −4x2cos⁡(x)+8xsin⁡(x)−4xcos⁡(x)+4sin⁡(x)+7cos⁡(x)+constant- 4 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 8 x \sin{\left(x \right)} - 4 x \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−4x2cos⁡(x)+8xsin⁡(x)−4xcos⁡(x)+4sin⁡(x)+7cos⁡(x)+constant- 4 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 8 x \sin{\left(x \right)} - 4 x \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                      
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 |          2                                                       2                    
 | (2*x + 1) *sin(x) dx = C + 4*sin(x) + 7*cos(x) - 4*x*cos(x) - 4*x *cos(x) + 8*x*sin(x)
 |                                                                                       
/
∫(2x+1)2sin⁡(x) dx=C−4x2cos⁡(x)+8xsin⁡(x)−4xcos⁡(x)+4sin⁡(x)+7cos⁡(x)\int \left(2 x + 1\right)^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx = C - 4 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 8 x \sin{\left(x \right)} - 4 x \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-7 - cos(1) + 12*sin(1)
−7−cos⁡(1)+12sin⁡(1)-7 - \cos{\left(1 \right)} + 12 \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
-7 - cos(1) + 12*sin(1)
−7−cos⁡(1)+12sin⁡(1)-7 - \cos{\left(1 \right)} + 12 \sin{\left(1 \right)} 
-7 - cos(1) + 12*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
2.55734951182662
2.55734951182662

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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