Integral de dx/sqrt(x)*(x-1)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{8} - 8 u^{6} + 12 u^{4} - 8 u^{2} + 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{8}\, du = 2 \int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{9}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 u^{6}\right)\, du = - 8 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 u^{4}\, du = 12 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 u^{2}\right)\, du = - 8 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         El resultado es: $\frac{2 u^{9}}{9} - \frac{8 u^{7}}{7} + \frac{12 u^{5}}{5} - \frac{8 u^{3}}{3} + 2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} - \frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1}{\sqrt{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2 u^{8} - 8 u^{6} + 12 u^{4} - 8 u^{2} + 2}{u^{10}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{8} - 8 u^{6} + 12 u^{4} - 8 u^{2} + 2}{u^{10}}\, du = - \int \frac{2 u^{8} - 8 u^{6} + 12 u^{4} - 8 u^{2} + 2}{u^{10}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 u^{8} - 8 u^{6} + 12 u^{4} - 8 u^{2} + 2}{u^{10}} = \frac{2}{u^{2}} - \frac{8}{u^{4}} + \frac{12}{u^{6}} - \frac{8}{u^{8}} + \frac{2}{u^{10}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{8}{u^{4}}\right)\, du = - 8 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{3 u^{3}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{12}{u^{6}}\, du = 12 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12}{5 u^{5}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{8}{u^{8}}\right)\, du = - 8 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{7 u^{7}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{10}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{10}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{10}}\, du = - \frac{1}{9 u^{9}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{9 u^{9}}$

            El resultado es: $- \frac{2}{u} + \frac{8}{3 u^{3}} - \frac{12}{5 u^{5}} + \frac{8}{7 u^{7}} - \frac{2}{9 u^{9}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u} - \frac{8}{3 u^{3}} + \frac{12}{5 u^{5}} - \frac{8}{7 u^{7}} + \frac{2}{9 u^{9}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} - \frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x - 1\right)^{4}}{\sqrt{x}} = x^{\frac{7}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} - 4 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{7}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{\frac{5}{2}}\right)\, dx = - 4 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{\frac{3}{2}}\, dx = 6 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 \sqrt{x}\right)\, dx = - 4 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} - \frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(35 x^{4} - 180 x^{3} + 378 x^{2} - 420 x + 315\right)}{315}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(35 x^{4} - 180 x^{3} + 378 x^{2} - 420 x + 315\right)}{315}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(35 x^{4} - 180 x^{3} + 378 x^{2} - 420 x + 315\right)}{315}+ \mathrm{constant}$