Integral de sin2x/(sqrt(1+cos^2x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx$

      1. que $u = \cos^{2}{\left(x \right)} + 1$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx$

      1. que $u = \cos^{2}{\left(x \right)} + 1$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}+ \mathrm{constant}$