Integral de e^(sinx+1)cosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(x \right)} + 1$.

      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{\sin{\left(x \right)} + 1}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{\sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} = e e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = e \int e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{\sin{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e e^{\sin{\left(x \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{\sin{\left(x \right)} + 1} \cos{\left(x \right)} = e e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = e \int e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{\sin{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e e^{\sin{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $e^{\sin{\left(x \right)} + 1}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{\sin{\left(x \right)} + 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{\sin{\left(x \right)} + 1}+ \mathrm{constant}$