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Resolución de integrales/ (t-x)/ sinx*exp(-2(t-x))

Integral de sinx*exp(-2(t-x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |          -2*(t - x)   
 |  sin(x)*e           dx
 |                       
/                        
0
∫01e−2(t−x)sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{- 2 \left(t - x\right)} \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)*exp(-2*(t - x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−2(t−x)sin⁡(x)=e−2te2xsin⁡(x)e^{- 2 \left(t - x\right)} \sin{\left(x \right)} = e^{- 2 t} e^{2 x} \sin{\left(x \right)}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e−2te2xsin⁡(x) dx=e−2t∫e2xsin⁡(x) dx\int e^{- 2 t} e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{- 2 t} \int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando e2xsin⁡(x)e^{2 x} \sin{\left(x \right)}:

          que u(x)=sin⁡(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces ∫e2xsin⁡(x) dx=e2xsin⁡(x)2−∫e2xcos⁡(x)2 dx\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \int \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx.

        2. Para el integrando e2xcos⁡(x)2\frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}:

          que u(x)=cos⁡(x)2u{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces ∫e2xsin⁡(x) dx=e2xsin⁡(x)2−e2xcos⁡(x)4+∫(−e2xsin⁡(x)4) dx\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4} + \int \left(- \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          5∫e2xsin⁡(x) dx4=e2xsin⁡(x)2−e2xcos⁡(x)4\frac{5 \int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}

          Por lo tanto,

          ∫e2xsin⁡(x) dx=2e2xsin⁡(x)5−e2xcos⁡(x)5\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: (2e2xsin⁡(x)5−e2xcos⁡(x)5)e−2t\left(\frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}\right) e^{- 2 t}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−2(t−x)sin⁡(x)=e−2te2xsin⁡(x)e^{- 2 \left(t - x\right)} \sin{\left(x \right)} = e^{- 2 t} e^{2 x} \sin{\left(x \right)}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e−2te2xsin⁡(x) dx=e−2t∫e2xsin⁡(x) dx\int e^{- 2 t} e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{- 2 t} \int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando e2xsin⁡(x)e^{2 x} \sin{\left(x \right)}:

          que u(x)=sin⁡(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces ∫e2xsin⁡(x) dx=e2xsin⁡(x)2−∫e2xcos⁡(x)2 dx\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \int \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx.

        2. Para el integrando e2xcos⁡(x)2\frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}:

          que u(x)=cos⁡(x)2u{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces ∫e2xsin⁡(x) dx=e2xsin⁡(x)2−e2xcos⁡(x)4+∫(−e2xsin⁡(x)4) dx\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4} + \int \left(- \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          5∫e2xsin⁡(x) dx4=e2xsin⁡(x)2−e2xcos⁡(x)4\frac{5 \int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}

          Por lo tanto,

          ∫e2xsin⁡(x) dx=2e2xsin⁡(x)5−e2xcos⁡(x)5\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: (2e2xsin⁡(x)5−e2xcos⁡(x)5)e−2t\left(\frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}\right) e^{- 2 t}

  2. Ahora simplificar:

    (2sin⁡(x)−cos⁡(x))e−2t+2x5\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 t + 2 x}}{5}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (2sin⁡(x)−cos⁡(x))e−2t+2x5+constant\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 t + 2 x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2sin⁡(x)−cos⁡(x))e−2t+2x5+constant\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 t + 2 x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                 
 |                             /          2*x      2*x       \      
 |         -2*(t - x)          |  cos(x)*e      2*e   *sin(x)|  -2*t
 | sin(x)*e           dx = C + |- ----------- + -------------|*e    
 |                             \       5              5      /      
/
∫e−2(t−x)sin⁡(x) dx=C+(2e2xsin⁡(x)5−e2xcos⁡(x)5)e−2t\int e^{- 2 \left(t - x\right)} \sin{\left(x \right)}\, dx = C + \left(\frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}\right) e^{- 2 t}
Simplificar
Respuesta [src] 
 -2*t           2  -2*t      2  -2*t       
e       cos(1)*e *e       2*e *e    *sin(1)
----- - --------------- + -----------------
  5            5                  5
−e2e−2tcos⁡(1)5+e−2t5+2e2e−2tsin⁡(1)5- \frac{e^{2} e^{- 2 t} \cos{\left(1 \right)}}{5} + \frac{e^{- 2 t}}{5} + \frac{2 e^{2} e^{- 2 t} \sin{\left(1 \right)}}{5} 
=
= 
 -2*t           2  -2*t      2  -2*t       
e       cos(1)*e *e       2*e *e    *sin(1)
----- - --------------- + -----------------
  5            5                  5
−e2e−2tcos⁡(1)5+e−2t5+2e2e−2tsin⁡(1)5- \frac{e^{2} e^{- 2 t} \cos{\left(1 \right)}}{5} + \frac{e^{- 2 t}}{5} + \frac{2 e^{2} e^{- 2 t} \sin{\left(1 \right)}}{5} 
exp(-2*t)/5 - cos(1)*exp(2)*exp(-2*t)/5 + 2*exp(2)*exp(-2*t)*sin(1)/5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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