Integral de sinx*exp(-2(t-x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 2 \left(t - x\right)} \sin{\left(x \right)} = e^{- 2 t} e^{2 x} \sin{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{- 2 t} e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{- 2 t} \int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{2 x} \sin{\left(x \right)}$:

            que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}$.

            Entonces $\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \int \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx$.

         2. Para el integrando $\frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}$:

            que $u{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}$.

            Entonces $\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4} + \int \left(- \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $\frac{5 \int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(\frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}\right) e^{- 2 t}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 2 \left(t - x\right)} \sin{\left(x \right)} = e^{- 2 t} e^{2 x} \sin{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{- 2 t} e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{- 2 t} \int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{2 x} \sin{\left(x \right)}$:

            que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}$.

            Entonces $\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \int \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx$.

         2. Para el integrando $\frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{2}$:

            que $u{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}$.

            Entonces $\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4} + \int \left(- \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{4}\right)\, dx$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $\frac{5 \int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{4} = \frac{e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{4}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{2 x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(\frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5}\right) e^{- 2 t}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 t + 2 x}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 t + 2 x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 t + 2 x}}{5}+ \mathrm{constant}$