Integral de sin(x)ln(cos(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(x \right)} dx}{\cos{\left(x \right)}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u e^{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{u}\, du = - \int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u e^{u} + e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(1 - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(1 - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(1 - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$