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Resolución de integrales/ (x+1)/ (X+1)ln^2(x+1)dx

Integral de (X+1)ln^2(x+1)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |             2          
 |  (x + 1)*log (x + 1) dx
 |                        
/                         
0
∫01(x+1)log⁡(x+1)2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2}\, dx 
Integral((x + 1)*log(x + 1)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x+1u = x + 1.

      Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

      ∫ulog⁡(u)2 du\int u \log{\left(u \right)}^{2}\, du

      1. que u=log⁡(u)u = \log{\left(u \right)}.

        Luego que du=duudu = \frac{du}{u} y ponemos dudu:

        ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        u2log⁡(u)22−u2log⁡(u)2+u24\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}^{2}}{2} - \frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} + \frac{u^{2}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (x+1)2log⁡(x+1)22−(x+1)2log⁡(x+1)2+(x+1)24\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{2} - \frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}

    Método #2

    1. que u=log⁡(x+1)u = \log{\left(x + 1 \right)}.

      Luego que du=dxx+1du = \frac{dx}{x + 1} y ponemos dudu:

      ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (x+1)2log⁡(x+1)22−(x+1)2log⁡(x+1)2+(x+1)24\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{2} - \frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    (x+1)2(2log⁡(x+1)2−2log⁡(x+1)+1)4\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x+1)2(2log⁡(x+1)2−2log⁡(x+1)+1)4+constant\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x+1)2(2log⁡(x+1)2−2log⁡(x+1)+1)4+constant\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                  
 |                                     2          2    2                 2           
 |            2                 (x + 1)    (x + 1) *log (x + 1)   (x + 1) *log(x + 1)
 | (x + 1)*log (x + 1) dx = C + -------- + -------------------- - -------------------
 |                                 4                2                      2         
/
∫(x+1)log⁡(x+1)2 dx=C+(x+1)2log⁡(x+1)22−(x+1)2log⁡(x+1)2+(x+1)24\int \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2}\, dx = C + \frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{2} - \frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9001
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
3                   2   
- - 2*log(2) + 2*log (2)
4
−2log⁡(2)+34+2log⁡(2)2- 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{3}{4} + 2 \log{\left(2 \right)}^{2} 
=
= 
3                   2   
- - 2*log(2) + 2*log (2)
4
−2log⁡(2)+34+2log⁡(2)2- 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{3}{4} + 2 \log{\left(2 \right)}^{2} 
3/4 - 2*log(2) + 2*log(2)^2
Respuesta numérica [src] 
0.324611666716512
0.324611666716512

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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