Integral de (X+1)ln^2(x+1)dx dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |                        
 |             2          
 |  (x + 1)*log (x + 1) dx
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2}\, dx$$

Integral((x + 1)*log(x + 1)^2, (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = x + 1$ .
  
  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int u \log{\left(u \right)}^{2}\, du$
  1. que $u = \log{\left(u \right)}$ .
    
    Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$ :
    
    $\int u^{2} e^{2 u}\, du$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}^{2}}{2} - \frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} + \frac{u^{2}}{4}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{2} - \frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}$
Método #2
1. que $u = \log{\left(x + 1 \right)}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dx}{x + 1}$ y ponemos $du$ :
  
  $\int u^{2} e^{2 u}\, du$
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$ .
    
    Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
    1. que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
    
    Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
    1. que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
    1. que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\text{False}$
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{2} - \frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)}{4}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right)^{2} \left(2 \log{\left(x + 1 \right)}^{2} - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                  
 |                                     2          2    2                 2           
 |            2                 (x + 1)    (x + 1) *log (x + 1)   (x + 1) *log(x + 1)
 | (x + 1)*log (x + 1) dx = C + -------- + -------------------- - -------------------
 |                                 4                2                      2         
/

$$\int \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2}\, dx = C + \frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{2} - \frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{4}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

3                   2   
- - 2*log(2) + 2*log (2)
4

$$- 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{3}{4} + 2 \log{\left(2 \right)}^{2}$$

3                   2   
- - 2*log(2) + 2*log (2)
4

$$- 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{3}{4} + 2 \log{\left(2 \right)}^{2}$$

3/4 - 2*log(2) + 2*log(2)^2

Respuesta numérica [src]

0.324611666716512

0.324611666716512

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (X+1)ln^2(x+1)dx dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2