Integral de (ln^2)x/sqrt(x) dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

   $\int u^{2} e^{\frac{3 u}{2}}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{3 u}{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. que $u = \frac{3 u}{2}$.

         Luego que $du = \frac{3 du}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

         $\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 e^{\frac{3 u}{2}}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = \frac{4 u}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{3 u}{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{4}{3}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. que $u = \frac{3 u}{2}$.

         Luego que $du = \frac{3 du}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

         $\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 e^{\frac{3 u}{2}}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{8 e^{\frac{3 u}{2}}}{9}\, du = \frac{8 \int e^{\frac{3 u}{2}}\, du}{9}$

      1. que $u = \frac{3 u}{2}$.

         Luego que $du = \frac{3 du}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

         $\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 e^{\frac{3 u}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 e^{\frac{3 u}{2}}}{27}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{8 x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{16 x^{\frac{3}{2}}}{27}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(9 \log{\left(x \right)}^{2} - 12 \log{\left(x \right)} + 8\right)}{27}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(9 \log{\left(x \right)}^{2} - 12 \log{\left(x \right)} + 8\right)}{27}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(9 \log{\left(x \right)}^{2} - 12 \log{\left(x \right)} + 8\right)}{27}+ \mathrm{constant}$