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Resolución de integrales/ cos(x)/ cos(x+pi/3)/ x*cos(x)-x*cos(x+pi/3)

Integral de x*cos(x)-x*cos(x+pi/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                              
 --                              
 6                               
  /                              
 |                               
 |  /                /    pi\\   
 |  |x*cos(x) - x*cos|x + --|| dx
 |  \                \    3 //   
 |                               
/                                
0
∫0π6(xcos⁡(x)−xcos⁡(x+π3)) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left(x \cos{\left(x \right)} - x \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}\right)\, dx 
Integral(x*cos(x) - x*cos(x + pi/3), (x, 0, pi/6))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−xcos⁡(x+π3)) dx=−∫xcos⁡(x+π3) dx\int \left(- x \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}\right)\, dx = - \int x \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xcos⁡(x+π3)=xcos⁡(x+π3)x \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = x \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x+π3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x+π3u = x + \frac{\pi}{3}.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(x+π3)\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. que u=x+π3u = x + \frac{\pi}{3}.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(x+π3)- \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

        Método #2

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x+π3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x+π3u = x + \frac{\pi}{3}.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(x+π3)\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. que u=x+π3u = x + \frac{\pi}{3}.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(x+π3)- \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xcos⁡(x+π3)=xcos⁡(x+π3)x \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = x \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x+π3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x+π3u = x + \frac{\pi}{3}.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(x+π3)\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. que u=x+π3u = x + \frac{\pi}{3}.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(x+π3)- \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡(x+π3)−cos⁡(x+π3)- x \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

    El resultado es: xsin⁡(x)−xsin⁡(x+π3)+cos⁡(x)−cos⁡(x+π3)x \sin{\left(x \right)} - x \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} + \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −xcos⁡(x+π6)+sin⁡(x+π6)- x \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(x+π6)+sin⁡(x+π6)+constant- x \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(x+π6)+sin⁡(x+π6)+constant- x \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                   
 |                                                                                    
 | /                /    pi\\             /    pi\                   /    pi\         
 | |x*cos(x) - x*cos|x + --|| dx = C - cos|x + --| + x*sin(x) - x*sin|x + --| + cos(x)
 | \                \    3 //             \    3 /                   \    3 /         
 |                                                                                    
/
∫(xcos⁡(x)−xcos⁡(x+π3)) dx=C+xsin⁡(x)−xsin⁡(x+π3)+cos⁡(x)−cos⁡(x+π3)\int \left(x \cos{\left(x \right)} - x \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}\right)\, dx = C + x \sin{\left(x \right)} - x \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} + \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        ___     
  1   \/ 3    pi
- - + ----- - --
  2     2     12
−12−π12+32- \frac{1}{2} - \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} 
=
= 
        ___     
  1   \/ 3    pi
- - + ----- - --
  2     2     12
−12−π12+32- \frac{1}{2} - \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} 
-1/2 + sqrt(3)/2 - pi/12
Respuesta numérica [src] 
0.104226015985289
0.104226015985289

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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