Integral de dx/x^1/3(1+x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{7} + 3 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{7}\, du = 3 \int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{8}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u\, du = 3 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{8}}{8} + \frac{3 u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} + 1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- 3 du$:

         $\int \left(- \frac{3}{u^{9}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{9}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - \frac{1}{8 u^{8}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{8 u^{8}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(x^{2} + 4\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(x^{2} + 4\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(x^{2} + 4\right)}{8}+ \mathrm{constant}$