Integral de e^(x+sin(y))*cos(y)dy dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + \sin{\left(y \right)}$.

      Luego que $du = \cos{\left(y \right)} dy$ y ponemos $du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x + \sin{\left(y \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x + \sin{\left(y \right)}} \cos{\left(y \right)} = e^{x} e^{\sin{\left(y \right)}} \cos{\left(y \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{x} e^{\sin{\left(y \right)}} \cos{\left(y \right)}\, dy = e^{x} \int e^{\sin{\left(y \right)}} \cos{\left(y \right)}\, dy$

      1. que $u = \sin{\left(y \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(y \right)} dy$ y ponemos $du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{\sin{\left(y \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e^{x} e^{\sin{\left(y \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x + \sin{\left(y \right)}} \cos{\left(y \right)} = e^{x} e^{\sin{\left(y \right)}} \cos{\left(y \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{x} e^{\sin{\left(y \right)}} \cos{\left(y \right)}\, dy = e^{x} \int e^{\sin{\left(y \right)}} \cos{\left(y \right)}\, dy$

      1. que $u = \sin{\left(y \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(y \right)} dy$ y ponemos $du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{\sin{\left(y \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e^{x} e^{\sin{\left(y \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x + \sin{\left(y \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x + \sin{\left(y \right)}}+ \mathrm{constant}$