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Resolución de integrales/ pi*x/2/ (2x+2)/ (2x+2)*cos(4*pi*x/2)

Integral de (2x+2)*cos(4*pi*x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  0                         
  /                         
 |                          
 |               /4*pi*x\   
 |  (2*x + 2)*cos|------| dx
 |               \  2   /   
 |                          
/                           
-2
∫−20(2x+2)cos⁡(4πx2) dx\int\limits_{-2}^{0} \left(2 x + 2\right) \cos{\left(\frac{4 \pi x}{2} \right)}\, dx 
Integral((2*x + 2)*cos(((4*pi)*x)/2), (x, -2, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(ucos⁡(πu)2+cos⁡(πu)) du\int \left(\frac{u \cos{\left(\pi u \right)}}{2} + \cos{\left(\pi u \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ucos⁡(uπ)2 du=∫ucos⁡(uπ) du2\int \frac{u \cos{\left(u \pi \right)}}{2}\, du = \frac{\int u \cos{\left(u \pi \right)}\, du}{2}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(uπ)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \pi \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=uπu = u \pi.

              Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(uπ)π\frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(uπ)π du=∫sin⁡(uπ) duπ\int \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \pi \right)}\, du}{\pi}

            1. que u=uπu = u \pi.

              Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(uπ)π- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(uπ)π2- \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{\pi^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: usin⁡(uπ)2π+cos⁡(uπ)2π2\frac{u \sin{\left(u \pi \right)}}{2 \pi} + \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{2 \pi^{2}}

        1. que u=uπu = u \pi.

          Luego que du=πdudu = \pi du y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(uπ)π\frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi}

        El resultado es: usin⁡(uπ)2π+sin⁡(uπ)π+cos⁡(uπ)2π2\frac{u \sin{\left(u \pi \right)}}{2 \pi} + \frac{\sin{\left(u \pi \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(u \pi \right)}}{2 \pi^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xsin⁡(2πx)π+sin⁡(2πx)π+cos⁡(2πx)2π2\frac{x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+2)cos⁡(4πx2)=2xcos⁡(2πx)+2cos⁡(2πx)\left(2 x + 2\right) \cos{\left(\frac{4 \pi x}{2} \right)} = 2 x \cos{\left(2 \pi x \right)} + 2 \cos{\left(2 \pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(2πx) dx=2∫xcos⁡(2πx) dx\int 2 x \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2πxu = 2 \pi x.

            Luego que du=2πdxdu = 2 \pi dx y ponemos du2π\frac{du}{2 \pi}:

            ∫cos⁡(u)2π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2π\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2πx)2π\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2πx)2π dx=∫sin⁡(2πx) dx2π\int \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{2 \pi}

          1. que u=2πxu = 2 \pi x.

            Luego que du=2πdxdu = 2 \pi dx y ponemos du2π\frac{du}{2 \pi}:

            ∫sin⁡(u)2π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2πx)2π- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2πx)4π2- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(2πx)π+cos⁡(2πx)2π2\frac{x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡(2πx) dx=2∫cos⁡(2πx) dx\int 2 \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx

        1. que u=2πxu = 2 \pi x.

          Luego que du=2πdxdu = 2 \pi dx y ponemos du2π\frac{du}{2 \pi}:

          ∫cos⁡(u)2π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2π\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2πx)2π\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2πx)π\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi}

      El resultado es: xsin⁡(2πx)π+sin⁡(2πx)π+cos⁡(2πx)2π2\frac{x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x+2u{\left(x \right)} = 2 x + 2 y que dv⁡(x)=cos⁡(2πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2πxu = 2 \pi x.

        Luego que du=2πdxdu = 2 \pi dx y ponemos du2π\frac{du}{2 \pi}:

        ∫cos⁡(u)2π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2π\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2πx)2π\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(2πx)π dx=∫sin⁡(2πx) dxπ\int \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{\pi}

      1. que u=2πxu = 2 \pi x.

        Luego que du=2πdxdu = 2 \pi dx y ponemos du2π\frac{du}{2 \pi}:

        ∫sin⁡(u)2π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2πx)2π- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2πx)2π2- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+2)cos⁡(4πx2)=2xcos⁡(2πx)+2cos⁡(2πx)\left(2 x + 2\right) \cos{\left(\frac{4 \pi x}{2} \right)} = 2 x \cos{\left(2 \pi x \right)} + 2 \cos{\left(2 \pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(2πx) dx=2∫xcos⁡(2πx) dx\int 2 x \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \pi x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2πxu = 2 \pi x.

            Luego que du=2πdxdu = 2 \pi dx y ponemos du2π\frac{du}{2 \pi}:

            ∫cos⁡(u)2π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2π\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2πx)2π\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2πx)2π dx=∫sin⁡(2πx) dx2π\int \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{2 \pi}

          1. que u=2πxu = 2 \pi x.

            Luego que du=2πdxdu = 2 \pi dx y ponemos du2π\frac{du}{2 \pi}:

            ∫sin⁡(u)2π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2π\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2πx)2π- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2πx)4π2- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(2πx)π+cos⁡(2πx)2π2\frac{x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡(2πx) dx=2∫cos⁡(2πx) dx\int 2 \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx

        1. que u=2πxu = 2 \pi x.

          Luego que du=2πdxdu = 2 \pi dx y ponemos du2π\frac{du}{2 \pi}:

          ∫cos⁡(u)2π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2π\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2πx)2π\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2πx)π\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi}

      El resultado es: xsin⁡(2πx)π+sin⁡(2πx)π+cos⁡(2πx)2π2\frac{x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    π(x+1)sin⁡(2πx)+cos⁡(2πx)2π2\frac{\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(2 \pi x \right)} + \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2}}{\pi^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    π(x+1)sin⁡(2πx)+cos⁡(2πx)2π2+constant\frac{\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(2 \pi x \right)} + \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

π(x+1)sin⁡(2πx)+cos⁡(2πx)2π2+constant\frac{\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(2 \pi x \right)} + \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                        
 |                                                                         
 |              /4*pi*x\          sin(2*pi*x)   cos(2*pi*x)   x*sin(2*pi*x)
 | (2*x + 2)*cos|------| dx = C + ----------- + ----------- + -------------
 |              \  2   /               pi              2            pi     
 |                                                 2*pi                    
/
∫(2x+2)cos⁡(4πx2) dx=C+xsin⁡(2πx)π+sin⁡(2πx)π+cos⁡(2πx)2π2\int \left(2 x + 2\right) \cos{\left(\frac{4 \pi x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}}
Simplificar
Gráfica
-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.05-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
-5.60905481154269e-22
-5.60905481154269e-22

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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