Integral de sin^2*2x*cosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x \sin^{2}{\left(2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(2 \right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sin^{2}{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)}\, dx = \sin^{2}{\left(2 \right)} \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{2}{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \sin^{2}{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)} = 4 x \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 x \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} \int x \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $4 \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(2 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(2 \right)}+ \mathrm{constant}$