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Resolución de integrales/ cos(pi*x)/ (1+x)/ (1+x)*cos(pi*x)

Integral de (1+x)*cos(pi*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                     
  /                     
 |                      
 |  (1 + x)*cos(pi*x) dx
 |                      
/                       
-pi
∫−ππ(x+1)cos⁡(πx) dx\int\limits_{- \pi}^{\pi} \left(x + 1\right) \cos{\left(\pi x \right)}\, dx 
Integral((1 + x)*cos(pi*x), (x, -pi, pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+1)cos⁡(πx)=xcos⁡(πx)+cos⁡(πx)\left(x + 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} = x \cos{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(πx)π dx=∫sin⁡(πx) dxπ\int \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(πx)π2- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      El resultado es: xsin⁡(πx)π+sin⁡(πx)π+cos⁡(πx)π2\frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x+1u{\left(x \right)} = x + 1 y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(πx)π dx=∫sin⁡(πx) dxπ\int \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(πx)π2- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+1)cos⁡(πx)=xcos⁡(πx)+cos⁡(πx)\left(x + 1\right) \cos{\left(\pi x \right)} = x \cos{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(πx)π dx=∫sin⁡(πx) dxπ\int \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(πx)π2- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

      1. que u=πxu = \pi x.

        Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

        ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      El resultado es: xsin⁡(πx)π+sin⁡(πx)π+cos⁡(πx)π2\frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    π(x+1)sin⁡(πx)+cos⁡(πx)π2\frac{\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    π(x+1)sin⁡(πx)+cos⁡(πx)π2+constant\frac{\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

π(x+1)sin⁡(πx)+cos⁡(πx)π2+constant\frac{\pi \left(x + 1\right) \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                            sin(pi*x)   cos(pi*x)   x*sin(pi*x)
 | (1 + x)*cos(pi*x) dx = C + --------- + --------- + -----------
 |                                pi           2           pi    
/                                            pi
∫(x+1)cos⁡(πx) dx=C+xsin⁡(πx)π+sin⁡(πx)π+cos⁡(πx)π2\int \left(x + 1\right) \cos{\left(\pi x \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}
Simplificar
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     /  2\
2*sin\pi /
----------
    pi
2sin⁡(π2)π\frac{2 \sin{\left(\pi^{2} \right)}}{\pi} 
=
= 
     /  2\
2*sin\pi /
----------
    pi
2sin⁡(π2)π\frac{2 \sin{\left(\pi^{2} \right)}}{\pi} 
2*sin(pi^2)/pi
Respuesta numérica [src] 
-0.273938262816092
-0.273938262816092

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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