Integral de sin(x)*cos(x)*exp^cos(x) dx

1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

   $\int \left(- u e^{u}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u e^{u}\, du = - \int u e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- u e^{u} + e^{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- e^{\cos{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + e^{\cos{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$