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Resolución de integrales/ cosy/(4+sqrt(siny))

Integral de cosy/(4+sqrt(siny)) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                  
 --                  
 2                   
  /                  
 |                   
 |      cos(y)       
 |  -------------- dy
 |        ________   
 |  4 + \/ sin(y)    
 |                   
/                    
0
∫0π2cos⁡(y)sin⁡(y)+4 dy\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sqrt{\sin{\left(y \right)}} + 4}\, dy 
Integral(cos(y)/(4 + sqrt(sin(y))), (y, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. que u=sin⁡(y)u = \sqrt{\sin{\left(y \right)}}.

    Luego que du=cos⁡(y)dy2sin⁡(y)du = \frac{\cos{\left(y \right)} dy}{2 \sqrt{\sin{\left(y \right)}}} y ponemos 2du2 du:

    ∫2uu+4 du\int \frac{2 u}{u + 4}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫uu+4 du=2∫uu+4 du\int \frac{u}{u + 4}\, du = 2 \int \frac{u}{u + 4}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        uu+4=1−4u+4\frac{u}{u + 4} = 1 - \frac{4}{u + 4}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4u+4) du=−4∫1u+4 du\int \left(- \frac{4}{u + 4}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u + 4}\, du

          1. que u=u+4u = u + 4.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u+4)\log{\left(u + 4 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(u+4)- 4 \log{\left(u + 4 \right)}

        El resultado es: u−4log⁡(u+4)u - 4 \log{\left(u + 4 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2u−8log⁡(u+4)2 u - 8 \log{\left(u + 4 \right)}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −8log⁡(sin⁡(y)+4)+2sin⁡(y)- 8 \log{\left(\sqrt{\sin{\left(y \right)}} + 4 \right)} + 2 \sqrt{\sin{\left(y \right)}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −8log⁡(sin⁡(y)+4)+2sin⁡(y)+constant- 8 \log{\left(\sqrt{\sin{\left(y \right)}} + 4 \right)} + 2 \sqrt{\sin{\left(y \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−8log⁡(sin⁡(y)+4)+2sin⁡(y)+constant- 8 \log{\left(\sqrt{\sin{\left(y \right)}} + 4 \right)} + 2 \sqrt{\sin{\left(y \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                             
 |     cos(y)                   /      ________\       ________
 | -------------- dy = C - 8*log\4 + \/ sin(y) / + 2*\/ sin(y) 
 |       ________                                              
 | 4 + \/ sin(y)                                               
 |                                                             
/
∫cos⁡(y)sin⁡(y)+4 dy=C−8log⁡(sin⁡(y)+4)+2sin⁡(y)\int \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sqrt{\sin{\left(y \right)}} + 4}\, dy = C - 8 \log{\left(\sqrt{\sin{\left(y \right)}} + 4 \right)} + 2 \sqrt{\sin{\left(y \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5-2010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2 - 8*log(5) + 8*log(4)
−8log⁡(5)+2+8log⁡(4)- 8 \log{\left(5 \right)} + 2 + 8 \log{\left(4 \right)} 
=
= 
2 - 8*log(5) + 8*log(4)
−8log⁡(5)+2+8log⁡(4)- 8 \log{\left(5 \right)} + 2 + 8 \log{\left(4 \right)} 
2 - 8*log(5) + 8*log(4)
Respuesta numérica [src] 
0.214851589486322
0.214851589486322

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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