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Resolución de integrales/ (x/3)/ cos(2x)/ 2*cos(2x)+1/3*sin(x/3)

Integral de 2*cos(2x)+1/3*sin(x/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                         
  /                         
 |                          
 |  /                /x\\   
 |  |             sin|-||   
 |  |                \3/|   
 |  |2*cos(2*x) + ------| dx
 |  \               3   /   
 |                          
/                           
0
∫0π(sin⁡(x3)3+2cos⁡(2x)) dx\int\limits_{0}^{\pi} \left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(2*cos(2*x) + sin(x/3)/3, (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(x3)3 dx=∫sin⁡(x3) dx3\int \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx}{3}

      1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

        Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

        ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(x3)- \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2cos⁡(2x) dx=2∫cos⁡(2x) dx\int 2 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)\sin{\left(2 x \right)}

    El resultado es: sin⁡(2x)−cos⁡(x3)\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    sin⁡(2x)−cos⁡(x3)\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(2x)−cos⁡(x3)+constant\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(2x)−cos⁡(x3)+constant\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                                 
 | /                /x\\                           
 | |             sin|-||                           
 | |                \3/|             /x\           
 | |2*cos(2*x) + ------| dx = C - cos|-| + sin(2*x)
 | \               3   /             \3/           
 |                                                 
/
∫(sin⁡(x3)3+2cos⁡(2x)) dx=C+sin⁡(2x)−cos⁡(x3)\int \left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.005-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/2
12\frac{1}{2} 
=
= 
1/2
12\frac{1}{2} 
1/2
Respuesta numérica [src] 
0.5
0.5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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