Integral de (pi/4-x/2)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(- \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi^{2}}{16}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{2}}{4}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\pi x}{4}\right)\, dx = - \frac{\pi \int x\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\pi x^{2}}{8}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{\pi^{2}}{16}\, dx = \frac{\pi^{2} x}{16}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{12} - \frac{\pi x^{2}}{8} + \frac{\pi^{2} x}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - \pi\right)^{3}}{96}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - \pi\right)^{3}}{96}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - \pi\right)^{3}}{96}+ \mathrm{constant}$