Integral de (1-cosx)/(1-sinx) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1              
  /              
 |               
 |  1 - cos(x)   
 |  ---------- dx
 |  1 - sin(x)   
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\, dx$$

Integral((1 - cos(x))/(1 - sin(x)), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)} - 1}$
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)} - 1} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}$
3. Integramos término a término:
  1. que $u = \sin{\left(x \right)} - 1$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$
  El resultado es: $\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\, dx$
    1. que $u = 1 - \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)}$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}$
  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$
  El resultado es: $\log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                  
 |                                                   
 | 1 - cos(x)               2                        
 | ---------- dx = C - ----------- + log(-1 + sin(x))
 | 1 - sin(x)                  /x\                   
 |                     -1 + tan|-|                   
/                              \2/

$$\int \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\, dx = C + \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                        /       2     \                                              /       2     \                                                 
           2         log\1 + tan (1/2)/            2*(pi*I + log(1 - tan(1/2)))   log\1 + tan (1/2)/*tan(1/2)   2*(pi*I + log(1 - tan(1/2)))*tan(1/2)
-2 - ------------- + ------------------ - 2*pi*I - ---------------------------- - --------------------------- + -------------------------------------
     -1 + tan(1/2)     -1 + tan(1/2)                      -1 + tan(1/2)                  -1 + tan(1/2)                      -1 + tan(1/2)

$$-2 + \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)}}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} - \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} - \frac{2}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(1 - \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)} + i \pi\right) \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} - 2 i \pi - \frac{2 \left(\log{\left(1 - \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)} + i \pi\right)}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$

                        /       2     \                                              /       2     \                                                 
           2         log\1 + tan (1/2)/            2*(pi*I + log(1 - tan(1/2)))   log\1 + tan (1/2)/*tan(1/2)   2*(pi*I + log(1 - tan(1/2)))*tan(1/2)
-2 - ------------- + ------------------ - 2*pi*I - ---------------------------- - --------------------------- + -------------------------------------
     -1 + tan(1/2)     -1 + tan(1/2)                      -1 + tan(1/2)                  -1 + tan(1/2)                      -1 + tan(1/2)

-2 - 2/(-1 + tan(1/2)) + log(1 + tan(1/2)^2)/(-1 + tan(1/2)) - 2*pi*i - 2*(pi*i + log(1 - tan(1/2)))/(-1 + tan(1/2)) - log(1 + tan(1/2)^2)*tan(1/2)/(-1 + tan(1/2)) + 2*(pi*i + log(1 - tan(1/2)))*tan(1/2)/(-1 + tan(1/2))

Respuesta numérica [src]

0.566405801066297

0.566405801066297

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (1-cosx)/(1-sinx) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2