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Resolución de integrales/ -cosx/ -sinx/ (1-cosx)/(1-sinx)

Integral de (1-cosx)/(1-sinx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |  1 - cos(x)   
 |  ---------- dx
 |  1 - sin(x)   
 |               
/                
0
∫011−cos⁡(x)1−sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((1 - cos(x))/(1 - sin(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−cos⁡(x)1−sin⁡(x)=cos⁡(x)−1sin⁡(x)−1\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)} - 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡(x)−1sin⁡(x)−1=cos⁡(x)sin⁡(x)−1−1sin⁡(x)−1\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)} - 1} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}

    3. Integramos término a término:

      1. que u=sin⁡(x)−1u = \sin{\left(x \right)} - 1.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡(x)−1)\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1sin⁡(x)−1) dx=−∫1sin⁡(x)−1 dx\int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          2tan⁡(x2)−1\frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}

        Por lo tanto, el resultado es: −2tan⁡(x2)−1- \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}

      El resultado es: log⁡(sin⁡(x)−1)−2tan⁡(x2)−1\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−cos⁡(x)1−sin⁡(x)=−cos⁡(x)1−sin⁡(x)+11−sin⁡(x)\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)1−sin⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x)1−sin⁡(x) dx\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=1−sin⁡(x)u = 1 - \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cos⁡(x)dxdu = - \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(1−sin⁡(x))- \log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1−sin⁡(x))\log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        11−sin⁡(x)=−1sin⁡(x)−1\frac{1}{1 - \sin{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1sin⁡(x)−1) dx=−∫1sin⁡(x)−1 dx\int \left(- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          2tan⁡(x2)−1\frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}

        Por lo tanto, el resultado es: −2tan⁡(x2)−1- \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}

      El resultado es: log⁡(1−sin⁡(x))−2tan⁡(x2)−1\log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}

  2. Ahora simplificar:

    (tan⁡(x2)−1)log⁡(sin⁡(x)−1)−2tan⁡(x2)−1\frac{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (tan⁡(x2)−1)log⁡(sin⁡(x)−1)−2tan⁡(x2)−1+constant\frac{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(tan⁡(x2)−1)log⁡(sin⁡(x)−1)−2tan⁡(x2)−1+constant\frac{\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - 2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                                                   
 | 1 - cos(x)               2                        
 | ---------- dx = C - ----------- + log(-1 + sin(x))
 | 1 - sin(x)                  /x\                   
 |                     -1 + tan|-|                   
/                              \2/
∫1−cos⁡(x)1−sin⁡(x) dx=C+log⁡(sin⁡(x)−1)−2tan⁡(x2)−1\int \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\, dx = C + \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} - \frac{2}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                        /       2     \                                              /       2     \                                                 
           2         log\1 + tan (1/2)/            2*(pi*I + log(1 - tan(1/2)))   log\1 + tan (1/2)/*tan(1/2)   2*(pi*I + log(1 - tan(1/2)))*tan(1/2)
-2 - ------------- + ------------------ - 2*pi*I - ---------------------------- - --------------------------- + -------------------------------------
     -1 + tan(1/2)     -1 + tan(1/2)                      -1 + tan(1/2)                  -1 + tan(1/2)                      -1 + tan(1/2)
−2+log⁡(tan⁡2(12)+1)−1+tan⁡(12)−log⁡(tan⁡2(12)+1)tan⁡(12)−1+tan⁡(12)−2−1+tan⁡(12)+2(log⁡(1−tan⁡(12))+iπ)tan⁡(12)−1+tan⁡(12)−2iπ−2(log⁡(1−tan⁡(12))+iπ)−1+tan⁡(12)-2 + \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)}}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} - \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} - \frac{2}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(1 - \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)} + i \pi\right) \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} - 2 i \pi - \frac{2 \left(\log{\left(1 - \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)} + i \pi\right)}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} 
=
= 
                        /       2     \                                              /       2     \                                                 
           2         log\1 + tan (1/2)/            2*(pi*I + log(1 - tan(1/2)))   log\1 + tan (1/2)/*tan(1/2)   2*(pi*I + log(1 - tan(1/2)))*tan(1/2)
-2 - ------------- + ------------------ - 2*pi*I - ---------------------------- - --------------------------- + -------------------------------------
     -1 + tan(1/2)     -1 + tan(1/2)                      -1 + tan(1/2)                  -1 + tan(1/2)                      -1 + tan(1/2)
−2+log⁡(tan⁡2(12)+1)−1+tan⁡(12)−log⁡(tan⁡2(12)+1)tan⁡(12)−1+tan⁡(12)−2−1+tan⁡(12)+2(log⁡(1−tan⁡(12))+iπ)tan⁡(12)−1+tan⁡(12)−2iπ−2(log⁡(1−tan⁡(12))+iπ)−1+tan⁡(12)-2 + \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)}}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} - \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 \right)} \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} - \frac{2}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(1 - \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)} + i \pi\right) \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} - 2 i \pi - \frac{2 \left(\log{\left(1 - \tan{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)} + i \pi\right)}{-1 + \tan{\left(\frac{1}{2} \right)}} 
-2 - 2/(-1 + tan(1/2)) + log(1 + tan(1/2)^2)/(-1 + tan(1/2)) - 2*pi*i - 2*(pi*i + log(1 - tan(1/2)))/(-1 + tan(1/2)) - log(1 + tan(1/2)^2)*tan(1/2)/(-1 + tan(1/2)) + 2*(pi*i + log(1 - tan(1/2)))*tan(1/2)/(-1 + tan(1/2))
Respuesta numérica [src] 
0.566405801066297
0.566405801066297

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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