Sr Examen
Integral de (-2)/sin(2*x) dx
Solución
Ha introducido
[src]
pi -- 6 / | | -2 | -------- dx | sin(2*x) | / 0
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left(- \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)\, dx$$
Integral(-2/sin(2*x), (x, 0, pi/6))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | -2 | -------- dx | sin(2*x) | /
La función subintegral
-2 -------- sin(2*x)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(2*x)
obtendremos
-2 -2*sin(2*x)
-------- = -----------
sin(2*x) 2
sin (2*x) Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 sin (2*x) = 1 - cos (2*x)
cambiamos denominador
-2*sin(2*x) -2*sin(2*x)
----------- = -------------
2 2
sin (2*x) 1 - cos (2*x)hacemos el cambio
u = cos(2*x)
entonces integral
/ | | -2*sin(2*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - cos (2*x) | /
/ | | -2*sin(2*x) | ------------- dx | 2 = | 1 - cos (2*x) | /
Como du = -2*dx*sin(2*x)
/ | | 1 | ------ du | 2 | 1 - u | /
Reescribimos la función subintegral
/-2*(-1)\
|-------|
1 \ 2 / / 1 1 \
------ = ---------*|----- + -----|
2 2 \1 - u 1 + u/
1 - u entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| 1 / / =
| ------ du = ----------- + -----------
| 2 2 2
| 1 - u
|
/
= log(1 + u)/2 - log(-1 + u)/2
hacemos cambio inverso
u = cos(2*x)
Respuesta
/ | | -2 log(1 + cos(2*x)) log(-1 + cos(2*x)) | -------- dx = ----------------- - ------------------ + C0 | sin(2*x) 2 2 | /
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | -2 log(1 + cos(2*x)) log(-1 + cos(2*x)) | -------- dx = C + ----------------- - ------------------ | sin(2*x) 2 2 | /
$$\int \left(- \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)\, dx = C - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
pi*I
-oo - ----
2
$$-\infty - \frac{i \pi}{2}$$
=
=
pi*I
-oo - ----
2
$$-\infty - \frac{i \pi}{2}$$
-oo - pi*i/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.