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Resolución de integrales/ x+sinx/ -cosx/ (-cosx+sinx)cosx

Integral de (-cosx+sinx)cosx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                             
  /                             
 |                              
 |  (-cos(x) + sin(x))*cos(x) dx
 |                              
/                               
0
∫0π(sin⁡(x)−cos⁡(x))cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{\pi} \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral((-cos(x) + sin(x))*cos(x), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)−cos⁡(x))cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(x)) dx=−∫cos⁡2(x) dx\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2−sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: −x2−sin⁡(2x)4−cos⁡2(x)2- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)−cos⁡(x))cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(x)) dx=−∫cos⁡2(x) dx\int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2−sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: −x2−sin⁡(2x)4−cos⁡2(x)2- \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    −x2−2sin⁡(2x+π4)4−14- \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} - \frac{1}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x2−2sin⁡(2x+π4)4−14+constant- \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2−2sin⁡(2x+π4)4−14+constant- \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          2              
 |                                    x   cos (x)   sin(2*x)
 | (-cos(x) + sin(x))*cos(x) dx = C - - - ------- - --------
 |                                    2      2         4    
/
∫(sin⁡(x)−cos⁡(x))cos⁡(x) dx=C−x2−sin⁡(2x)4−cos⁡2(x)2\int \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.002-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-pi 
----
 2
−π2- \frac{\pi}{2} 
=
= 
-pi 
----
 2
−π2- \frac{\pi}{2} 
-pi/2
Respuesta numérica [src] 
-1.5707963267949
-1.5707963267949

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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