Integral de exp(x)/(exp(x)+exp(-x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

         1. que $u = u^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(e^{2 x} + 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{- x}} = \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$

   2. que $u = e^{2 x} + 1$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(e^{2 x} + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(e^{2 x} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(e^{2 x} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$