Integral de tan(x)*ln(cos(x)) dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi                      
 --                      
 3                       
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 |  tan(x)*log(cos(x)) dx
 |                       
/                        
0

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(tan(x)*log(cos(x)), (x, 0, pi/3))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
    1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
    1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
    1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
    1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
    1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
Ahora resolvemos podintegral.
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du$
    1. que $u = \frac{1}{u}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}$
Método #2
1. que $u = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \frac{\sin{\left(x \right)} dx}{\cos{\left(x \right)}}$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- u\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int u\, du = - \int u\, du$
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                               2        
 |                             log (cos(x))
 | tan(x)*log(cos(x)) dx = C - ------------
 |                                  2      
/

$$\int \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2}}{2}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

    2    
-log (2) 
---------
    2

$$- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}$$

    2    
-log (2) 
---------
    2

$$- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{2}$$

-log(2)^2/2

Respuesta numérica [src]

-0.240226506959101

-0.240226506959101

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de tan(x)*ln(cos(x)) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2