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Resolución de integrales/ (x-2)/ 2*x^2/ 3*x-2/ (x-2)/sqrt(7/8+3*x-2*x^2)

Integral de (x-2)/sqrt(7/8+3*x-2*x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                         
  /                         
 |                          
 |          x - 2           
 |  --------------------- dx
 |     __________________   
 |    /                2    
 |  \/  7/8 + 3*x - 2*x     
 |                          
/                           
0
∫01x−2−2x2+(3x+78) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 2}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}}\, dx 
Integral((x - 2)/sqrt(7/8 + 3*x - 2*x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x−2−2x2+(3x+78)=22x−42−16x2+24x+7\frac{x - 2}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}} = \frac{2 \sqrt{2} x - 4 \sqrt{2}}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      22x−42−16x2+24x+7=22x−16x2+24x+7−42−16x2+24x+7\frac{2 \sqrt{2} x - 4 \sqrt{2}}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}} = \frac{2 \sqrt{2} x}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}} - \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫22x−16x2+24x+7 dx=22∫x−16x2+24x+7 dx\int \frac{2 \sqrt{2} x}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx = 2 \sqrt{2} \int \frac{x}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫x−(4x−7)(4x+1) dx\int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: 22∫x−(4x−7)(4x+1) dx2 \sqrt{2} \int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−42−16x2+24x+7) dx=−42∫1−16x2+24x+7 dx\int \left(- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\right)\, dx = - 4 \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫1−16x2+24x+7 dx\int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: −42∫1−16x2+24x+7 dx- 4 \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

      El resultado es: 22∫x−(4x−7)(4x+1) dx−42∫1−16x2+24x+7 dx2 \sqrt{2} \int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx - 4 \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x−2−2x2+(3x+78)=x−2x2+(3x+78)−2−2x2+(3x+78)\frac{x - 2}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}} = \frac{x}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}} - \frac{2}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x−2x2+(3x+78)=22x−16x2+24x+7\frac{x}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}} = \frac{2 \sqrt{2} x}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫22x−16x2+24x+7 dx=22∫x−16x2+24x+7 dx\int \frac{2 \sqrt{2} x}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx = 2 \sqrt{2} \int \frac{x}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫x−(4x−7)(4x+1) dx\int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: 22∫x−(4x−7)(4x+1) dx2 \sqrt{2} \int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2−2x2+(3x+78)) dx=−2∫1−2x2+(3x+78) dx\int \left(- \frac{2}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1−2x2+(3x+78)=22−16x2+24x+7\frac{1}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫22−16x2+24x+7 dx=22∫1−16x2+24x+7 dx\int \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx = 2 \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            ∫1−16x2+24x+7 dx\int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

          Por lo tanto, el resultado es: 22∫1−16x2+24x+7 dx2 \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

        Por lo tanto, el resultado es: −42∫1−16x2+24x+7 dx- 4 \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

      El resultado es: 22∫x−(4x−7)(4x+1) dx−42∫1−16x2+24x+7 dx2 \sqrt{2} \int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx - 4 \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx

  2. Ahora simplificar:

    22(∫x−(4x−7)(4x+1) dx−2∫1−16x2+24x+7 dx)2 \sqrt{2} \left(\int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx - 2 \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    22(∫x−(4x−7)(4x+1) dx−2∫1−16x2+24x+7 dx)+constant2 \sqrt{2} \left(\int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx - 2 \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

22(∫x−(4x−7)(4x+1) dx−2∫1−16x2+24x+7 dx)+constant2 \sqrt{2} \left(\int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx - 2 \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         /                                     /                            
 |                                         |                                     |                             
 |         x - 2                      ___  |           1                    ___  |             x               
 | --------------------- dx = C - 4*\/ 2 * | --------------------- dx + 2*\/ 2 * | ------------------------- dx
 |    __________________                   |    __________________               |   _______________________   
 |   /                2                    |   /         2                       | \/ -(1 + 4*x)*(-7 + 4*x)    
 | \/  7/8 + 3*x - 2*x                     | \/  7 - 16*x  + 24*x                |                             
 |                                         |                                    /                              
/                                         /
∫x−2−2x2+(3x+78) dx=C+22∫x−(4x−7)(4x+1) dx−42∫1−16x2+24x+7 dx\int \frac{x - 2}{\sqrt{- 2 x^{2} + \left(3 x + \frac{7}{8}\right)}}\, dx = C + 2 \sqrt{2} \int \frac{x}{\sqrt{- \left(4 x - 7\right) \left(4 x + 1\right)}}\, dx - 4 \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{- 16 x^{2} + 24 x + 7}}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
        /  1                                1                           \
        |  /                                /                           |
        | |                                |                            |
    ___ | |            -2                  |             x              |
2*\/ 2 *| |  ----------------------- dx +  |  ----------------------- dx|
        | |    _________   _________       |    _________   _________   |
        | |  \/ 1 + 4*x *\/ 7 - 4*x        |  \/ 1 + 4*x *\/ 7 - 4*x    |
        | |                                |                            |
        |/                                /                             |
        \0                                0                             /
22(∫01(−27−4x4x+1) dx+∫01x7−4x4x+1 dx)2 \sqrt{2} \left(\int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{2}{\sqrt{7 - 4 x} \sqrt{4 x + 1}}\right)\, dx + \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{7 - 4 x} \sqrt{4 x + 1}}\, dx\right) 
=
= 
        /  1                                1                           \
        |  /                                /                           |
        | |                                |                            |
    ___ | |            -2                  |             x              |
2*\/ 2 *| |  ----------------------- dx +  |  ----------------------- dx|
        | |    _________   _________       |    _________   _________   |
        | |  \/ 1 + 4*x *\/ 7 - 4*x        |  \/ 1 + 4*x *\/ 7 - 4*x    |
        | |                                |                            |
        |/                                /                             |
        \0                                0                             /
22(∫01(−27−4x4x+1) dx+∫01x7−4x4x+1 dx)2 \sqrt{2} \left(\int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{2}{\sqrt{7 - 4 x} \sqrt{4 x + 1}}\right)\, dx + \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{7 - 4 x} \sqrt{4 x + 1}}\, dx\right) 
2*sqrt(2)*(Integral(-2/(sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 - 4*x)), (x, 0, 1)) + Integral(x/(sqrt(1 + 4*x)*sqrt(7 - 4*x)), (x, 0, 1)))
Respuesta numérica [src] 
-1.18987398453206
-1.18987398453206

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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