Integral de 4^(x)*dx/((5*sqrt(3+4^x))) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4^{x}$.

      Luego que $du = 4^{x} \log{\left(4 \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{10 \log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{10 \sqrt{u + 3} \log{\left(2 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u + 3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u + 3}}\, du}{10 \log{\left(2 \right)}}$

         1. que $u = u + 3$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{u + 3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u + 3}}{5 \log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{4^{x} + 3}}{5 \log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = 5 \sqrt{4^{x} + 3}$.

      Luego que $du = \frac{5 \cdot 4^{x} \log{\left(4 \right)} dx}{2 \sqrt{4^{x} + 3}}$ y ponemos $\frac{du}{25 \log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{25 \log{\left(2 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1\, du = \frac{\int 1\, du}{25 \log{\left(2 \right)}}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{25 \log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{4^{x} + 3}}{5 \log{\left(2 \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{4^{x} + 3}}{5 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{4^{x} + 3}}{5 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$