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Resolución de integrales/ -sinx/ 4cosx/ (4cosx-sinx)^2

Integral de (4cosx-sinx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
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 |  (4*cos(x) - sin(x))  dx
 |                         
/                          
0
∫01(−sin⁡(x)+4cos⁡(x))2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(- \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx 
Integral((4*cos(x) - sin(x))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−sin⁡(x)+4cos⁡(x))2=sin⁡2(x)−8sin⁡(x)cos⁡(x)+16cos⁡2(x)\left(- \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 16 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−8sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−8∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Método #2

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u du\int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡2(x)4 \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫16cos⁡2(x) dx=16∫cos⁡2(x) dx\int 16 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 8x+4sin⁡(2x)8 x + 4 \sin{\left(2 x \right)}

      El resultado es: 17x2+15sin⁡(2x)4+4cos⁡2(x)\frac{17 x}{2} + \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−sin⁡(x)+4cos⁡(x))2=sin⁡2(x)−8sin⁡(x)cos⁡(x)+16cos⁡2(x)\left(- \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 16 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−8sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−8∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡2(x)4 \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫16cos⁡2(x) dx=16∫cos⁡2(x) dx\int 16 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 8x+4sin⁡(2x)8 x + 4 \sin{\left(2 x \right)}

      El resultado es: 17x2+15sin⁡(2x)4+4cos⁡2(x)\frac{17 x}{2} + \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    17x2+15sin⁡(2x)4+4cos⁡2(x)+constant\frac{17 x}{2} + \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

17x2+15sin⁡(2x)4+4cos⁡2(x)+constant\frac{17 x}{2} + \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
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 |                    2               2      15*sin(2*x)   17*x
 | (4*cos(x) - sin(x))  dx = C + 4*cos (x) + ----------- + ----
 |                                                4         2  
/
∫(−sin⁡(x)+4cos⁡(x))2 dx=C+17x2+15sin⁡(2x)4+4cos⁡2(x)\int \left(- \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx = C + \frac{17 x}{2} + \frac{15 \sin{\left(2 x \right)}}{4} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2            2                      
9*sin (1)   17*cos (1)   15*cos(1)*sin(1)
--------- + ---------- + ----------------
    2           2               2
17cos⁡2(1)2+9sin⁡2(1)2+15sin⁡(1)cos⁡(1)2\frac{17 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{9 \sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{15 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} 
=
= 
     2            2                      
9*sin (1)   17*cos (1)   15*cos(1)*sin(1)
--------- + ---------- + ----------------
    2           2               2
17cos⁡2(1)2+9sin⁡2(1)2+15sin⁡(1)cos⁡(1)2\frac{17 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{9 \sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{15 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} 
9*sin(1)^2/2 + 17*cos(1)^2/2 + 15*cos(1)*sin(1)/2
Respuesta numérica [src] 
9.07757167750202
9.07757167750202

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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