Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de x*√x
Integral de x^4*e^(x^5)
Integral de x³lnx
Integral de x²+4
Expresiones idénticas
cos(t)^ dos *sin(t)^ dos
coseno de (t) al cuadrado multiplicar por seno de (t) al cuadrado
coseno de (t) en el grado dos multiplicar por seno de (t) en el grado dos
cos(t)2*sin(t)2
cost2*sint2
cos(t)²*sin(t)²
cos(t) en el grado 2*sin(t) en el grado 2
cos(t)^2sin(t)^2
cos(t)2sin(t)2
cost2sint2
cost^2sint^2
Expresiones con funciones
Coseno cos
cos(x)/sqrt(2*sin^2(x)+cos^2(x))
cos(x)×sin(x)
cos(x)+sin(x)
cos(x)/sin(x)^2
cos(x)*sin(x)^3dx
Seno sin
sin(1/x)^2
sin^25x
sin(x)/x
sin(x)/x^(3/2)
sin(x)/((x^3)+2)^(1/2)

Resolución de integrales/ cos(t)/ sin(t)/ cos(t)^2*sin(t)^2

Integral de cos(t)^2*sin(t)^2 dt

Solución

Ha introducido [src]

 pi                   
 --                   
 2                    
  /                   
 |                    
 |     2       2      
 |  cos (t)*sin (t) dt
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$$

Integral(cos(t)^2*sin(t)^2, (t, 0, pi/2))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{2}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = 2 t$ .
  
  Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$
    El resultado es: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{t}{8} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{4}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dt = \frac{t}{4}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{4}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 4 t$ .
      
      Luego que $du = 4 dt$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t}{8} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$
  El resultado es: $\frac{t}{8} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{4}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dt = \frac{t}{4}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{4}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 4 t$ .
      
      Luego que $du = 4 dt$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t}{8} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$
  El resultado es: $\frac{t}{8} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{t}{8} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t}{8} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                     
 |                                      
 |    2       2             sin(4*t)   t
 | cos (t)*sin (t) dt = C - -------- + -
 |                             32      8
/

$$\int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = C + \frac{t}{8} - \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

pi
--
16

$$\frac{\pi}{16}$$

pi
--
16

$$\frac{\pi}{16}$$

pi/16

Respuesta numérica [src]

0.196349540849362

0.196349540849362

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cos(t)^2*sin(t)^2 dt

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3