Integral de cos(pi*x)/2*(cos(2*n+1)*pi*x)/6 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{2} x \pi \cos{\left(2 n + 1 \right)}}{6}\, dx = \frac{\int \frac{\pi x \cos{\left(\pi x \right)} \cos{\left(2 n + 1 \right)}}{2}\, dx}{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\pi x \cos{\left(\pi x \right)} \cos{\left(2 n + 1 \right)}}{2}\, dx = \frac{\pi \cos{\left(2 n + 1 \right)} \int x \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{2}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = \pi x$.

            Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}$

         1. que $u = \pi x$.

            Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\pi \left(\frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right) \cos{\left(2 n + 1 \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\pi \left(\frac{x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right) \cos{\left(2 n + 1 \right)}}{12}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}\right) \cos{\left(2 n + 1 \right)}}{12 \pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}\right) \cos{\left(2 n + 1 \right)}}{12 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}\right) \cos{\left(2 n + 1 \right)}}{12 \pi}+ \mathrm{constant}$