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Resolución de integrales/ 1+lnx/ (dx)/x/ (dx)/xsqrt(1+lnx)

Integral de (dx)/xsqrt(1+lnx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |    ____________   
 |  \/ 1 + log(x)    
 |  -------------- dx
 |        x          
 |                   
/                    
 8                   
e
∫e81log⁡(x)+1x dx\int\limits_{e^{8}}^{1} \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{x}\, dx 
Integral(sqrt(1 + log(x))/x, (x, exp(8), 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−log⁡(1u)+1u) du\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(1u)+1u du=−∫log⁡(1u)+1u du\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}}{u}\, du

        1. que u=log⁡(1u)+1u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2u323- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2(log⁡(1u)+1)323- \frac{2 \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(log⁡(1u)+1)323\frac{2 \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(log⁡(x)+1)323\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

    Método #2

    1. que u=log⁡(x)+1u = \log{\left(x \right)} + 1.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫u du\int \sqrt{u}\, du

      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(log⁡(x)+1)323\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2(log⁡(x)+1)323+constant\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(log⁡(x)+1)323+constant\frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                                          
 |   ____________                        3/2
 | \/ 1 + log(x)           2*(1 + log(x))   
 | -------------- dx = C + -----------------
 |       x                         3        
 |                                          
/
∫log⁡(x)+1x dx=C+2(log⁡(x)+1)323\int \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)} + 1}}{x}\, dx = C + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}
Simplificar
Gráfica
25050075010001250150017502000225025002750020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-52/3
−523- \frac{52}{3} 
=
= 
-52/3
−523- \frac{52}{3} 
-52/3
Respuesta numérica [src] 
-17.3333333333333
-17.3333333333333

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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