Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Límite de ((2+x)/x)^x
-
Expresiones idénticas
- sin(x^ dos)/x^ tres -pi*x^ dos / cuatro
- seno de (x al cuadrado ) dividir por x al cubo menos número pi multiplicar por x al cuadrado dividir por 4
- seno de (x en el grado dos) dividir por x en el grado tres menos número pi multiplicar por x en el grado dos dividir por cuatro
- sin(x2)/x3-pi*x2/4
- sinx2/x3-pi*x2/4
- sin(x²)/x³-pi*x²/4
- sin(x en el grado 2)/x en el grado 3-pi*x en el grado 2/4
- sin(x^2)/x^3-pix^2/4
- sin(x2)/x3-pix2/4
- sinx2/x3-pix2/4
- sinx^2/x^3-pix^2/4
- sin(x^2) dividir por x^3-pi*x^2 dividir por 4
-
Expresiones semejantes
- sin(x^2)/x^3+pi*x^2/4
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(3*x)^2/log(1+2*x)^2
- sin(3*x)^2/(2*x^2)
- sin(x/2-y/2)*tan(pi*x/(2*y))
- sin(2*x)^4/(x^2+5*x^6*sin(x^2))
- sin(5*x^2)/atan(2*x)^2
- Número Pi pi
- Piecewise((1/2+x/2-x^2,x<0),(1/2,x=0),(1+x^2+x/2,x>0))
- pi*atan(-1+2*x)^22
- pi*log(x+sqrt(-1+x^2))
- pi*tan(x)^2*(1+x^2)/4
- pi*atan(3*x)
Límite de la función sin(x^2)/x^3-pi*x^2/4
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 2\ 2\
|sin\x / pi*x |
lim |------- - -----|
x->0+| 3 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right)$$
Limit(sin(x^2)/x^3 - pi*x^2/4, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \pi x^{5} + 4 \sin{\left(x^{2} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x^{3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \pi x^{5} + 4 \sin{\left(x^{2} \right)}}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \pi x^{5} + 4 \sin{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 5 \pi x^{4} + 8 x \cos{\left(x^{2} \right)}}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 5 \pi x^{4} + 8 x \cos{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 20 \pi x^{3} - 16 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 8 \cos{\left(x^{2} \right)}}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 20 \pi x^{3} - 16 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 8 \cos{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4 x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)}}{3} - \frac{5 \pi x^{2}}{2} - 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4 x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)}}{3} - \frac{5 \pi x^{2}}{2} - 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \pi x^{5} + 4 \sin{\left(x^{2} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x^{3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \pi x^{5} + 4 \sin{\left(x^{2} \right)}}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \pi x^{5} + 4 \sin{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 5 \pi x^{4} + 8 x \cos{\left(x^{2} \right)}}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 5 \pi x^{4} + 8 x \cos{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 20 \pi x^{3} - 16 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 8 \cos{\left(x^{2} \right)}}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 20 \pi x^{3} - 16 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 8 \cos{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4 x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)}}{3} - \frac{5 \pi x^{2}}{2} - 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4 x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)}}{3} - \frac{5 \pi x^{2}}{2} - 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{4} + \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{4} + \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{4} + \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = - \frac{\pi}{4} + \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / 2\ 2\
|sin\x / pi*x |
lim |------- - -----|
x->0+| 3 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right)$$
oo
$$\infty$$
= 150.999965505815
/ / 2\ 2\
|sin\x / pi*x |
lim |------- - -----|
x->0-| 3 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\pi x^{2}}{4} + \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{x^{3}}\right)$$
-oo
$$-\infty$$
= -151.000034397369
= -151.000034397369