Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} - x + 1} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - 1}{\log{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - x + 1} - 1}{\log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} - x + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(x - \frac{1}{2}\right)}{\sqrt{x^{2} - x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)