Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 1}{\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2}{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1}{\pi \left(- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1}{\pi \left(- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{2}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)