Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función log(1+6*x^2)/log(sqrt(1+4*sin(x)^2))

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /        /       2\     \
     |     log\1 + 6*x /     |
 lim |-----------------------|
x->0+|   /   _______________\|
     |   |  /          2    ||
     \log\\/  1 + 4*sin (x) //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right)$$
Limit(log(1 + 6*x^2)/log(sqrt(1 + 4*sin(x)^2)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(6 x^{2} + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x \left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(6 x^{2} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Respuesta rápida [src]
3
$$3$$
A la izquierda y a la derecha [src]
     /        /       2\     \
     |     log\1 + 6*x /     |
 lim |-----------------------|
x->0+|   /   _______________\|
     |   |  /          2    ||
     \log\\/  1 + 4*sin (x) //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right)$$
3
$$3$$
= 3
     /        /       2\     \
     |     log\1 + 6*x /     |
 lim |-----------------------|
x->0-|   /   _______________\|
     |   |  /          2    ||
     \log\\/  1 + 4*sin (x) //
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right)$$
3
$$3$$
= 3
= 3
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(7 \right)}}{\log{\left(1 + 4 \sin^{2}{\left(1 \right)} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(7 \right)}}{\log{\left(1 + 4 \sin^{2}{\left(1 \right)} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src]
3.0
3.0