Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(6 x^{2} + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(6 x^{2} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(\sqrt{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x \left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(6 x^{2} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)