Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 5^+} \log{\left(\operatorname{asin}{\left(x \left(x - 5\right) \right)} + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 5^+}\left(x^{2} + 3 x - 40\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\log{\left(\operatorname{asin}{\left(x^{2} - 5 x \right)} + 1 \right)}}{3 x + \left(x^{2} - 40\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\log{\left(\operatorname{asin}{\left(x \left(x - 5\right) \right)} + 1 \right)}}{x^{2} + 3 x - 40}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\operatorname{asin}{\left(x \left(x - 5\right) \right)} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x - 40\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{2 x - 5}{\left(2 x + 3\right) \sqrt{- x^{2} \left(x - 5\right)^{2} + 1} \left(\operatorname{asin}{\left(x \left(x - 5\right) \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{5}{2 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{5}{2 x + 3}\right)$$
=
$$\frac{5}{13}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)