Sr Examen

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Límite de la función/ -pi/2/ cos(2*x)/ cos(2*x)/(2*x-pi/2)

Límite de la función cos(2*x)/(2*x-pi/2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /cos(2*x)\
 lim  |--------|
   pi |      pi|
x->--+|2*x - --|
   4  \      2 /
lim⁡x→π4+(cos⁡(2x)2x−π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) 
Limit(cos(2*x)/(2*x - pi/2), x, pi/4)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π4+(2cos⁡(2x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π4+(4x−π)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(4 x - \pi\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π4+(cos⁡(2x)2x−π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π4+(2cos⁡(2x)4x−π)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{4 x - \pi}\right)
=
lim⁡x→π4+(ddx2cos⁡(2x)ddx(4x−π))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 \cos{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(4 x - \pi\right)}\right)
=
lim⁡x→π4+(−sin⁡(2x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)
=
lim⁡x→π4+−1\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} -1
=
lim⁡x→π4+−1\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} -1
=
−1-1
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-1.50-1.25-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.001.251.501-2
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
-1
−1-1
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π4−(cos⁡(2x)2x−π2)=−1\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) = -1
Más detalles con x→pi/4 a la izquierda
lim⁡x→π4+(cos⁡(2x)2x−π2)=−1\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) = -1
lim⁡x→∞(cos⁡(2x)2x−π2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(cos⁡(2x)2x−π2)=−2π\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) = - \frac{2}{\pi}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(cos⁡(2x)2x−π2)=−2π\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) = - \frac{2}{\pi}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(cos⁡(2x)2x−π2)=−2cos⁡(2)−4+π\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) = - \frac{2 \cos{\left(2 \right)}}{-4 + \pi}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(cos⁡(2x)2x−π2)=−2cos⁡(2)−4+π\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) = - \frac{2 \cos{\left(2 \right)}}{-4 + \pi}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(cos⁡(2x)2x−π2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /cos(2*x)\
 lim  |--------|
   pi |      pi|
x->--+|2*x - --|
   4  \      2 /
lim⁡x→π4+(cos⁡(2x)2x−π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) 
-1
−1-1 
= -1
      /cos(2*x)\
 lim  |--------|
   pi |      pi|
x->---|2*x - --|
   4  \      2 /
lim⁡x→π4−(cos⁡(2x)2x−π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2 x - \frac{\pi}{2}}\right) 
-1
−1-1 
= -1
= -1
Respuesta numérica [src] 
-1.0
-1.0
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