Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin^{3}{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{3}{2}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{3}{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{3}{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)}}{\frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)} \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)}}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)}}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)}}{\frac{d}{d x} 5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)} \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)}}{25 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)}}{25 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)}}{\frac{d}{d x} 25 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{5} \right)}}{125}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{125}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{125}$$
=
$$\frac{1}{125}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)