Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(\pi x \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)} \cot^{3}{\left(\pi x \right)}}{2 \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)} \cot^{3}{\left(\pi x \right)}}{2 \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)