Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(2 x + \sqrt[5]{x^{2} + 31}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x + \sqrt[5]{x^{2} + 31}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + \sqrt[5]{x^{2} + 31}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{2 x}{5 \left(x^{2} + 31\right)^{\frac{4}{5}}} + 2}{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{\frac{2 x}{5 \left(x^{2} + 31\right)^{\frac{4}{5}}} + 2}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{\frac{2 x}{5 \left(x^{2} + 31\right)^{\frac{4}{5}}} + 2}{\pi}\right)$$
=
$$- \frac{79}{40 \pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)