Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+x^3)/(-1+x)
-
Límite de (-9+x^2)/(-3+x)
-
Límite de (-3+x)/(-9+x^2)
-
Límite de x^sin(x)
-
Expresiones idénticas
- (e^x-e^ dos)*cot(pi*x)
- (e en el grado x menos e al cuadrado ) multiplicar por cotangente de ( número pi multiplicar por x)
- (e en el grado x menos e en el grado dos) multiplicar por cotangente de ( número pi multiplicar por x)
- (ex-e2)*cot(pi*x)
- ex-e2*cotpi*x
- (e^x-e²)*cot(pi*x)
- (e en el grado x-e en el grado 2)*cot(pi*x)
- (e^x-e^2)cot(pix)
- (ex-e2)cot(pix)
- ex-e2cotpix
- e^x-e^2cotpix
-
Expresiones semejantes
- (e^x+e^2)*cot(pi*x)
-
Expresiones con funciones
- Cotangente cot
- cot(2*x)*sin(3*x)
- cot(3*x)*sin(5*x)
- cot(3*x)/cot(6*x)
- cot(3*x)*sin(2*x)
- cot(x)^sin(x)*(cos(x)*log(cot(x))+(-1-cot(x)^2)*sin(x)/cot(x))
- Número Pi pi
- pi+cos(x)
- pi*i
- pi/(2*x)
- pi/(x*cot(5*x/2))
- pi/2
Límite de la función (e^x-e^2)*cot(pi*x)
Solución
Ha introducido
[src]
// x 2\ \ lim \\E - E /*cot(pi*x)/ x->2+
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Limit((E^x - E^2)*cot(pi*x), x, 2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(e^{x} - e^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - e^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{e^{x} \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\pi e^{- x}}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \pi \cot{\left(\pi x \right)}}{\left(\frac{2 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) e^{- x}}{\cot^{3}{\left(\pi x \right)}} + \frac{\pi e^{- x}}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right) \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \pi \cot{\left(\pi x \right)}}{\left(\frac{2 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) e^{- x}}{\cot^{3}{\left(\pi x \right)}} + \frac{\pi e^{- x}}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right) \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{e^{2}}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(e^{x} - e^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - e^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{e^{x} \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\pi e^{- x}}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \pi \cot{\left(\pi x \right)}}{\left(\frac{2 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) e^{- x}}{\cot^{3}{\left(\pi x \right)}} + \frac{\pi e^{- x}}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right) \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \pi \cot{\left(\pi x \right)}}{\left(\frac{2 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) e^{- x}}{\cot^{3}{\left(\pi x \right)}} + \frac{\pi e^{- x}}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right) \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{e^{2}}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{e^{2}}{\pi}$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{e^{2}}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{e^{2}}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
// x 2\ \ lim \\E - E /*cot(pi*x)/ x->2+
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
2 e -- pi
$$\frac{e^{2}}{\pi}$$
= 2.35200960585626
// x 2\ \ lim \\E - E /*cot(pi*x)/ x->2-
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\left(e^{x} - e^{2}\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
2 e -- pi
$$\frac{e^{2}}{\pi}$$
= 2.35200960585626
= 2.35200960585626