Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\sin{\left(x - 3 \right)} \tan{\left(\frac{x - 3}{2} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 6 x + 9\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sin{\left(x - 3 \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} - \frac{3}{2} \right)}}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\sin{\left(x - 3 \right)} \tan{\left(\frac{x - 3}{2} \right)}}{x^{2} - 6 x + 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x - 3 \right)} \tan{\left(\frac{x - 3}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x - 3 \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{3}{2} \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x - 3 \right)}}{2} + \cos{\left(x - 3 \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} - \frac{3}{2} \right)}}{2 x - 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x - 3 \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} - \frac{3}{2} \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x - 3 \right)}}{2} + \cos{\left(x - 3 \right)} \tan{\left(\frac{x}{2} - \frac{3}{2} \right)}}{2 x - 6}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)