Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3-10*x+3*x^2)/(-3+x^2-2*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
- Derivada de:
-
(x-pi/2)^2/cos(x)^2
-
Expresiones idénticas
- (x-pi/ dos)^ dos /cos(x)^ dos
- (x menos número pi dividir por 2) al cuadrado dividir por coseno de (x) al cuadrado
- (x menos número pi dividir por dos) en el grado dos dividir por coseno de (x) en el grado dos
- (x-pi/2)2/cos(x)2
- x-pi/22/cosx2
- (x-pi/2)²/cos(x)²
- (x-pi/2) en el grado 2/cos(x) en el grado 2
- x-pi/2^2/cosx^2
- (x-pi dividir por 2)^2 dividir por cos(x)^2
-
Expresiones semejantes
- (x+pi/2)^2/cos(x)^2
- (x-pi/2)^2/cosx^2
-
Expresiones con funciones
- Número Pi pi
- Piecewise((-9/2+9*x/2+9*((-1+x)^2)^(1/3)/2,x<2),(2-x-1/(-2+x),x>2))
- Piecewise(((-sin(x)+3*x)/(x+sin(x)),x<0),(b,x=0),(a+(-2+sqrt(4+x))/x,x>0),(0,True))
- pi*(3+26*x/7)
- Piecewise((-1-2*x,x<=4),(2+x,True))
- pi/(4*x)-pi*x*(1+exp(pi*x))/2
- Coseno cos
- cos(2*x)/2+cos(x)
- cos(x)^2-tan(x)^2
- cos(x)^sin(x)/x^3
- cos(3*x)*tan(x^2/3)/sin(5*x^2)^2
- cos(x+n/4)
Límite de la función (x-pi/2)^2/cos(x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|/ pi\ |
||x - --| |
|\ 2 / |
lim |---------|
pi | 2 |
x->--+\ cos (x) /
2
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Limit((x - pi/2)^2/cos(x)^2, x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 x^{2} - 4 \pi x + \pi^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(2 x - \pi\right)^{2}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 4 \pi x + \pi^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 4 \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{8 x - 4 \pi}{8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{8 x - 4 \pi}{8 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x - 4 \pi\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 8 \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 x^{2} - 4 \pi x + \pi^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(2 x - \pi\right)^{2}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 4 \pi x + \pi^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 4 \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{8 x - 4 \pi}{8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{8 x - 4 \pi}{8 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x - 4 \pi\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 8 \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2\
|/ pi\ |
||x - --| |
|\ 2 / |
lim |---------|
pi | 2 |
x->--+\ cos (x) /
2
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
/ 2\
|/ pi\ |
||x - --| |
|\ 2 / |
lim |---------|
pi | 2 |
x->---\ cos (x) /
2
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
= 1
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}{4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}{4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}{4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}{4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo