Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función/ -pi/2/ cos(x)/ (x-pi/2)^2/cos(x)^2

Límite de la función (x-pi/2)^2/cos(x)^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /        2\
      |/    pi\ |
      ||x - --| |
      |\    2 / |
 lim  |---------|
   pi |    2    |
x->--+\ cos (x) /
   2
lim⁡x→π2+((x−π2)2cos⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) 
Limit((x - pi/2)^2/cos(x)^2, x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(4x2−4πx+π2)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 x^{2} - 4 \pi x + \pi^{2}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+(4cos⁡2(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+((x−π2)2cos⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π2+((2x−π)24cos⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(2 x - \pi\right)^{2}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(4x2−4πx+π2)ddx4cos⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 4 \pi x + \pi^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 4 \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−8x−4π8sin⁡(x)cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{8 x - 4 \pi}{8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−8x−4π8cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{8 x - 4 \pi}{8 \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(8x−4π)ddx(−8cos⁡(x)))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x - 4 \pi\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 8 \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+1sin⁡(x)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}
=
lim⁡x→π2+1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} 1
=
lim⁡x→π2+1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} 1
=
11
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0050000
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
1
11
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /        2\
      |/    pi\ |
      ||x - --| |
      |\    2 / |
 lim  |---------|
   pi |    2    |
x->--+\ cos (x) /
   2
lim⁡x→π2+((x−π2)2cos⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) 
1
11 
= 1
      /        2\
      |/    pi\ |
      ||x - --| |
      |\    2 / |
 lim  |---------|
   pi |    2    |
x->---\ cos (x) /
   2
lim⁡x→π2−((x−π2)2cos⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) 
1
11 
= 1
= 1
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−((x−π2)2cos⁡2(x))=1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = 1
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+((x−π2)2cos⁡2(x))=1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = 1
lim⁡x→∞((x−π2)2cos⁡2(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−((x−π2)2cos⁡2(x))=π24\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{\pi^{2}}{4}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+((x−π2)2cos⁡2(x))=π24\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{\pi^{2}}{4}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−((x−π2)2cos⁡2(x))=−4π+4+π24cos⁡2(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}{4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+((x−π2)2cos⁡2(x))=−4π+4+π24cos⁡2(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \frac{- 4 \pi + 4 + \pi^{2}}{4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞((x−π2)2cos⁡2(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
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