Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1+1/x
-
Límite de (3-2*x)^(x/(1-x))
-
Límite de (sqrt(1+2*x)-sqrt(6+x))/(-15-7*x+2*x^2)
-
Límite de (sqrt(3+2*x)-sqrt(4+x))/(1-4*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- cos(x)/((uno +x^ dos)*(x-pi/ dos))
- coseno de (x) dividir por ((1 más x al cuadrado ) multiplicar por (x menos número pi dividir por 2))
- coseno de (x) dividir por ((uno más x en el grado dos) multiplicar por (x menos número pi dividir por dos))
- cos(x)/((1+x2)*(x-pi/2))
- cosx/1+x2*x-pi/2
- cos(x)/((1+x²)*(x-pi/2))
- cos(x)/((1+x en el grado 2)*(x-pi/2))
- cos(x)/((1+x^2)(x-pi/2))
- cos(x)/((1+x2)(x-pi/2))
- cosx/1+x2x-pi/2
- cosx/1+x^2x-pi/2
- cos(x) dividir por ((1+x^2)*(x-pi dividir por 2))
-
Expresiones semejantes
- cos(x)/((1-x^2)*(x-pi/2))
- cos(x)/((1+x^2)*(x+pi/2))
- cosx/((1+x^2)*(x-pi/2))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(4/x)
- cos(2*x)/(3*x*sin(3*x))
- cos(x)*cos(3*x)/x^2
- cos(13*sqrt(x))^(4/x)
- cos(x)*sin(5*x)/acot(4*x)
- Número Pi pi
- Piecewise((-1-x,x<-1),((1+x)^2,x<=1),(x,True))
- pi-2*asin(x/5)
- pi*x*tan(3)^2*sin(5*pi*x)*tan(2*pi*x)/cos(7*pi*x)
- pi/(2*x*(1+x)*(2+x))
- pi*x*sqrt((x^2-x)/tan(x))
Límite de la función cos(x)/((1+x^2)*(x-pi/2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ cos(x) \ lim |-----------------| pi |/ 2\ / pi\| x->--+|\1 + x /*|x - --|| 2 \ \ 2 //
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Limit(cos(x)/(((1 + x^2)*(x - pi/2))), x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(2 x - \pi\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\left(2 x - \pi\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} \left(2 x - \pi\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$- \frac{4}{4 + \pi^{2}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(2 x - \pi\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\left(2 x - \pi\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} \left(2 x - \pi\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$- \frac{4}{4 + \pi^{2}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{4}{4 + \pi^{2}}$$
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{4}{4 + \pi^{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{2}{\pi}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{2}{\pi}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-2 + \pi}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-2 + \pi}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{4}{4 + \pi^{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{2}{\pi}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{2}{\pi}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-2 + \pi}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-2 + \pi}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ cos(x) \ lim |-----------------| pi |/ 2\ / pi\| x->--+|\1 + x /*|x - --|| 2 \ \ 2 //
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
-4
-------
2
4 + pi
$$- \frac{4}{4 + \pi^{2}}$$
= -0.288400439142001
/ cos(x) \ lim |-----------------| pi |/ 2\ / pi\| x->---|\1 + x /*|x - --|| 2 \ \ 2 //
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
-4
-------
2
4 + pi
$$- \frac{4}{4 + \pi^{2}}$$
= -0.288400439142001
= -0.288400439142001