Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función/ -pi/2/ 1+x^2/ cos(x)/ cos(x)/((1+x^2)*(x-pi/2))

Límite de la función cos(x)/((1+x^2)*(x-pi/2))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /      cos(x)     \
 lim  |-----------------|
   pi |/     2\ /    pi\|
x->--+|\1 + x /*|x - --||
   2  \         \    2 //
lim⁡x→π2+(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) 
Limit(cos(x)/(((1 + x^2)*(x - pi/2))), x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(2cos⁡(x)x2+1)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+(2x−π)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(2 x - \pi\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π2+(2cos⁡(x)(2x−π)(x2+1))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\left(2 x - \pi\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx2cos⁡(x)x2+1ddx(2x−π))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} \left(2 x - \pi\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(−2xcos⁡(x)x4+2x2+1−sin⁡(x)x2+1)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right)
=
lim⁡x→π2+(−2xcos⁡(x)x4+2x2+1−sin⁡(x)x2+1)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right)
=
−44+π2- \frac{4}{4 + \pi^{2}}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.01.0-1.0
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))=−44+π2\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{4}{4 + \pi^{2}}
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))=−44+π2\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{4}{4 + \pi^{2}}
lim⁡x→∞(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))=−2π\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{2}{\pi}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))=−2π\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{2}{\pi}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))=−cos⁡(1)−2+π\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-2 + \pi}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))=−cos⁡(1)−2+π\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{-2 + \pi}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /      cos(x)     \
 lim  |-----------------|
   pi |/     2\ /    pi\|
x->--+|\1 + x /*|x - --||
   2  \         \    2 //
lim⁡x→π2+(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) 
  -4   
-------
      2
4 + pi
−44+π2- \frac{4}{4 + \pi^{2}} 
= -0.288400439142001
      /      cos(x)     \
 lim  |-----------------|
   pi |/     2\ /    pi\|
x->---|\1 + x /*|x - --||
   2  \         \    2 //
lim⁡x→π2−(cos⁡(x)(x−π2)(x2+1))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \left(x^{2} + 1\right)}\right) 
  -4   
-------
      2
4 + pi
−44+π2- \frac{4}{4 + \pi^{2}} 
= -0.288400439142001
= -0.288400439142001
Respuesta rápida [src] 
  -4   
-------
      2
4 + pi
−44+π2- \frac{4}{4 + \pi^{2}}
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
-0.288400439142001
-0.288400439142001
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