Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- log(uno +x)*sin(uno /x)
- logaritmo de (1 más x) multiplicar por seno de (1 dividir por x)
- logaritmo de (uno más x) multiplicar por seno de (uno dividir por x)
- log(1+x)sin(1/x)
- log1+xsin1/x
- log(1+x)*sin(1 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- log(1+x)*sin(1)/x
- log(1-x)*sin(1/x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(sqrt((1+x)/(1-x)))/x
- log(x-a)/log(e^x-e^a)
- log(-5+x)/log(e^x-e^5)
- log(sin(3*x))/(-pi+6*x)^2
- log(1-3*x)/(-1+e^(4*x))
- Seno sin
- sin(1)/x
- sin(7*pi*x)/sin(8*pi*x)
- sin(7*x)/(5*x)
- sin(x)^(x^2)
- sin(3*x)/(sqrt(3+x)-sqrt(3))
Límite de la función log(1+x)*sin(1/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /1\\ lim |log(1 + x)*sin|-|| x->oo\ \x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)$$
Limit(log(1 + x)*sin(1/x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\left(x + 1\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{x + 1}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(- \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 1}\right) \sin^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x + 1}\right) \sin^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x + 1}\right) \sin^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\left(x + 1\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{x + 1}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(- \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 1}\right) \sin^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x + 1}\right) \sin^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x + 1}\right) \sin^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)} \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)} \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)} \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = \log{\left(2 \right)} \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x + 1 \right)} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo