Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1} - \tan{\left(x \right)} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\left(1 - \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}\right) - \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{- \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1} - \tan{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1} - \tan{\left(x \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1 - \frac{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}}}{2 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{4 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}} - \frac{1}{4 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{4 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}} - \frac{1}{4 \sqrt{\tan{\left(x \right)} + 1}}\right)$$
=
$$- \frac{3}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)