Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(2 x^{2} + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sinh{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + 1 \right)}}{x \sinh{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(2 x^{2} + 1 \right)}}{x \sinh{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2 x^{2} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} x \sinh{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{\left(2 x^{2} + 1\right) \left(x \cosh{\left(x \right)} + \sinh{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{x \cosh{\left(x \right)} + \sinh{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{x \cosh{\left(x \right)} + \sinh{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)