Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(x \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \cot{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \cot{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(x \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\left(\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right) \cot^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\left(\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 x^{2} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right) \cot^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)