Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 + e^{- x}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 + e^{- x}}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(e^{x} + 1\right) e^{- x}}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{1 + e^{- x}}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{e^{- x}}{4 x \sqrt{1 + e^{- x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{e^{- x}}{4 x \sqrt{1 + e^{- x}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)